Persamaan kuadrat yang akar akarnya dan 6 adalah – Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan 6 adalah topik menarik dalam aljabar. Memahami bagaimana membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya merupakan kunci untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, bahkan yang diaplikasikan dalam konteks dunia nyata. Kita akan menjelajahi konsep ini, mulai dari pembentukan persamaan hingga penerapannya dalam soal cerita dan interpretasi grafik.
Pembahasan ini akan menguraikan langkah-langkah detail dalam menentukan persamaan kuadrat, menjelaskan hubungan antara akar-akar dengan koefisien persamaan, dan menunjukkan bagaimana grafik persamaan kuadrat merepresentasikan solusi-solusinya. Dengan pemahaman yang komprehensif, kita dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai jenis soal yang melibatkan persamaan kuadrat.
Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar 4 dan 6
Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berderajat dua yang memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c merupakan konstanta dan a ≠ 0. Menentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui merupakan salah satu aplikasi penting dari konsep persamaan kuadrat. Berikut akan dijelaskan bagaimana membentuk persamaan kuadrat dengan akar-akar 4 dan 6, serta hubungannya dengan koefisien-koefisien persamaan tersebut.
Pembentukan Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar 4 dan 6, Persamaan kuadrat yang akar akarnya dan 6 adalah
Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk x²
-(α + β)x + αβ =
0. Dalam kasus ini, α = 4 dan β =
6. Dengan demikian, kita dapat langsung membentuk persamaan kuadratnya:
x²
-(4 + 6)x + (4)(6) = 0
x²
-10x + 24 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan 6 adalah x²
-10x + 24 = 0.
Hubungan Koefisien dan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Dari contoh di atas, terlihat bahwa jumlah akar-akar (4 + 6 = 10) merupakan negatif dari koefisien x (yaitu -10), sedangkan hasil kali akar-akar (4 x 6 = 24) sama dengan konstanta (yaitu 24). Secara umum, untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar α dan β, berlaku hubungan:
α + β = -b/a
αβ = c/a
Hubungan ini sangat berguna untuk menentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui, atau sebaliknya, untuk menentukan akar-akar jika persamaan kuadratnya diketahui.
Contoh Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar Berbeda
Mari kita coba dengan akar-akar -2 dan
5. Menggunakan rumus yang sama:
x²
-(-2 + 5)x + (-2)(5) = 0
x²
-3x – 10 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 5 adalah x²
-3x – 10 = 0.
Perbandingan Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar Berbeda
| Akar-akar | Persamaan Kuadrat | Jumlah Akar-akar | Hasil Kali Akar-akar |
|---|---|---|---|
| 4 dan 6 | x² – 10x + 24 = 0 | 10 | 24 |
| -2 dan 5 | x²
|
3 | -10 |
| -3 dan -1 | x² + 4x + 3 = 0 | -4 | 3 |
| 0 dan 7 | x² – 7x = 0 | 7 | 0 |
Sifat-sifat Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar 4 dan 6
Persamaan kuadrat x²
-10x + 24 = 0 memiliki akar-akar riil dan berbeda (4 dan 6). Parabola yang merepresentasikan persamaan ini membuka ke atas (karena koefisien x² positif), memotong sumbu x di titik (4,0) dan (6,0), dan memiliki titik puncak di x = 5 (rata-rata dari akar-akar).
Menentukan Persamaan Kuadrat dari Akar-akarnya
Menentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui merupakan konsep fundamental dalam aljabar. Kemampuan ini memungkinkan kita untuk membangun persamaan kuadrat dari solusi-solusinya, membuka jalan untuk memahami dan memecahkan berbagai permasalahan matematika dan aplikasi di dunia nyata.
Algoritma Penentuan Persamaan Kuadrat dari Akar-akarnya
Algoritma untuk menentukan persamaan kuadrat dari akar-akarnya cukup sederhana. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk faktor (x – α)(x – β) = 0. Dengan mengalikan faktor-faktor tersebut, kita akan memperoleh persamaan kuadrat dalam bentuk umum ax² + bx + c = 0.
Penerapan Algoritma dengan Akar-akar 4 dan 6
Mari kita terapkan algoritma tersebut dengan akar-akar 4 dan 6. Substitusikan α = 4 dan β = 6 ke dalam bentuk faktor (x – α)(x – β) = 0. Maka kita peroleh (x – 4)(x – 6) = 0. Dengan mengalikan faktor-faktor tersebut, kita dapatkan x²
-10x + 24 = 0. Jadi, persamaan kuadratnya adalah x²
-10x + 24 = 0.
Mengubah Bentuk Persamaan Kuadrat dari Bentuk Umum ke Bentuk Faktor
Mengubah persamaan kuadrat dari bentuk umum ax² + bx + c = 0 ke bentuk faktor (x – α)(x – β) = 0 melibatkan proses pemfaktoran. Metode pemfaktoran yang umum digunakan meliputi mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan menghasilkan b dan jika dikalikan menghasilkan ac. Jika pemfaktoran langsung sulit, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akarnya (α dan β), kemudian membangun persamaan dalam bentuk faktor.
Contoh Soal dan Penyelesaian dengan Metode Berbeda
Berikut contoh soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan -5.
- Metode Faktorisasi Langsung: (x – 2)(x + 5) = 0. Setelah dikalikan, diperoleh x² + 3x – 10 = 0.
- Metode Rumus Kuadrat: Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk memverifikasi hasil. Karena akar-akarnya sudah diketahui, kita bisa langsung membentuk persamaan kuadrat menggunakan bentuk umum a(x – α)(x – β) = 0 dengan a = 1.
Menemukan Persamaan Kuadrat dengan Salah Satu Akar Bilangan Kompleks
Jika salah satu akarnya adalah bilangan kompleks, misalnya α = 2 + 3i, maka akar lainnya akan berupa konjugatnya, β = 2 – 3i (karena akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien real selalu muncul berpasangan sebagai konjugat kompleks). Kita kemudian dapat membentuk persamaan kuadrat dengan menggunakan bentuk faktor (x – α)(x – β) = 0, lalu mengalikannya untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk umum.
Contoh: Jika α = 2 + 3i dan β = 2 – 3i, maka (x – (2 + 3i))(x – (2 – 3i)) = 0. Setelah dikalikan dan disederhanakan, kita akan memperoleh persamaan kuadrat x²
-4x + 13 = 0.
Hubungan Akar-akar dan Koefisien Persamaan Kuadrat: Persamaan Kuadrat Yang Akar Akarnya Dan 6 Adalah
Persamaan kuadrat, yang berbentuk ax² + bx + c = 0, memiliki dua akar-akar yang dapat kita cari dengan berbagai metode. Namun, terdapat hubungan yang menarik antara akar-akar persamaan kuadrat ini dengan koefisien-koefisiennya (a, b, dan c). Memahami hubungan ini akan mempermudah kita dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dan menganalisis sifat-sifat akar-akarnya.
Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
Misalkan α dan β adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c =
0. Jumlah akar-akar (α + β) memiliki hubungan langsung dengan koefisien b dan a. Secara spesifik, jumlah akar-akar sama dengan negatif dari rasio koefisien x (b) terhadap koefisien x² (a). Rumusnya dapat ditulis sebagai:
α + β = -b/a
Rumus ini sangat berguna karena memungkinkan kita untuk menentukan jumlah akar-akar tanpa harus terlebih dahulu mencari nilai akar-akar tersebut secara individual. Hal ini sangat efisien, terutama ketika kita berhadapan dengan persamaan kuadrat yang rumit.
Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Selain jumlah akar-akar, hasil kali akar-akar (αβ) juga memiliki hubungan yang sederhana dengan koefisien persamaan kuadrat. Hasil kali akar-akar sama dengan rasio koefisien konstanta (c) terhadap koefisien x² (a). Rumusnya adalah:
αβ = c/a
Sama seperti rumus jumlah akar-akar, rumus ini memberikan cara yang efisien untuk menentukan hasil kali akar-akar tanpa perlu menghitung masing-masing akar terlebih dahulu. Ini sangat membantu dalam berbagai aplikasi persamaan kuadrat, termasuk dalam pemecahan masalah yang melibatkan geometri atau fisika.
Tabel Hubungan Akar-akar dan Koefisien
Berikut tabel yang merangkum hubungan antara akar-akar (α dan β) dan koefisien (a, b, dan c) dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0:
| Koefisien | Hubungan dengan Akar-akar | Rumus |
|---|---|---|
| a | Koefisien x² | – |
| b | Negatif dari jumlah akar-akar dikalikan a | α + β = -b/a |
| c | Hasil kali akar-akar dikalikan a | αβ = c/a |
Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x²
-5x + 6 =
0. Dari persamaan ini, kita dapat langsung menentukan a = 1, b = -5, dan c =
6. Dengan menggunakan rumus di atas, kita dapat menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar tanpa perlu mencari akar-akarnya secara langsung:
Jumlah akar-akar: α + β = -b/a = -(-5)/1 = 5
